分数阶傅里叶变换

张朋

传统的Fourier变换是分析和处理平稳信号的一种标准和有力工具，而对于处理和分析时变的非平稳信号则显得乏力。这是由于Fourier变换采用全局性的基函数所决定的,从而突出分数阶Fourier变换良好的特性分析某些非平稳信号。
Fourier变换的数学基础是Fourier级数，其数学定义表示，任一非正弦函数（信号）可以分解为无穷多个频率为其基本频率整数（包括零）倍的正弦波之和。Fourier变换将其积分周期拓展至无穷形成的。传统的Fourier变换是信号在一组正交完备的正弦基上的展开，所以一个正弦信号的Fourier变换是一个δ函数。
分数阶Fourier变换（FRFT）可以理解为信号在时频面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶Fourier域上的表示方法。如果信号的Fourier变换可以看成将其在时间轴上逆时针旋转 π/2到频率轴上的，则FRFT可以看成是将信号在时间轴上逆时针旋转任意角度到u轴上的表示（u轴被称为分数阶Fourier域）。从本质上讲，信号在分数阶Fourier域上的表示，同时融合了信号在时域和频域的信息，因此被认为是一种时频分析方法，且与其他时频分析方法（WVD,小波变换，短时Fourier变换，Randon-Wigner变换，模糊函数）密切相关。 FRFT是信号在一组正交的chirp基上的展开，一个chirp信号的某一阶次的FRFT也是一个δ函数。因此，FRFT对chirp信号具有很好的聚焦性。
1. 分数阶Fourier变换（FRFT）

分数傅里叶变换可以从不同的角度来定义，并且各个定义之间是等价的,目前最常用的是从积分变换角度给出的定义和从特征分解角度给出的定义。
1) FRFT的积分定义




2) FRFT的特征分解




3) 时频平面旋转


2. 基于FRFT的chirp信号参数估计






附录

1) 模糊函数

卡卡艾博

知乎比百度有用。

晓珂侃世界

写的真好

夏炎

写的好全面，正好在自学分数阶傅里叶变换，终于找到一篇总结全面的文章了！感谢

时尚李

写的详细，很不错

荒岛的未来

学习分数傅里叶变换可以用那些参考书啊，目前想学习但找不到资料[大哭]

小戚

陶然《分数阶Fourier变换的原理与应用》、《分数阶傅里叶变换及其应用》

义薄云天尊天敬神

谢谢大哥了，我都快哭了，我一路从核函数找回来，又找分数阶，终于是看到老师写的数学公式是个啥了，谢谢！

优宠

网上有没有视频教学啊？b站、mooc、智慧树都没找到视频，快哭了

现实世界太虚伪

你好，请问有参考文献么，感谢