谈谈音乐

梁神仙

大家好！我在此先祝各位新年快乐，今天我们将讨论音乐和数学。废话不多说，咱们开始！
<hr/>什么是音乐？

音乐是不同快慢的振动的组合。振动的快慢被称为音高。实际上，除了振动，没有其他方法发出声音。还有不懂的同学可以点击下方的链接看音叉振动发声。当然，也可以上百度搜索“振动发声”找到。
（侵删）
<hr/>标准音

演奏会音高（即国际标准音）指的是在演奏会中所有乐器统一的调音标准。现代调音标准中往往把参照音小字一组的a1/la/6的频率确定为440Hz（即赫兹）。为什么呢？由于篇幅原因，大家可以自行百度一下。
除a1/la/6的频率是440Hz，小字一组的其他几个音的频率大约是：

音名	频率
C	261.6
C# / Db	277.2
D	293.7
D# / Eb	311.1
E	329.6
F	349.2
F# / Gb	370.0
G	392.0
G# / Ab	415.3
A	440.0
A# / Bb	466.2
B	493.9

<hr/>但是……为什么是这些频率呢？

问到点子上了。这是我们这次要讨论的问题。第一幕的背景在希腊。希腊人首先发现频率为小的整数比（例如 3:2 ）的音符听起来不错。毕达哥拉斯发明了第一个音阶。首先，一个音阶中，完整八度的音符的频率比要是 2:1 。为创造和谐的声音，希腊人还希望C和F之间以及C和G之间的频率要用最小整数表示。在他们的方案中，对于大二度的两个音（如C与D），频率比是 8:9 ；且对于小二度的两个音（如C与C# / Db），频率比是 243:256 。以下是毕达哥拉斯音阶：
C \times \frac{9}{8}\Rightarrow D \times \frac{9}{8}\Rightarrow E \times \frac{256}{243}\Rightarrow F \times \frac{9}{8}\Rightarrow G \times \frac{9}{8}\Rightarrow A \times \frac{9}{8}\Rightarrow B \times \frac{256}{243}\Rightarrow C\\毕达哥拉斯音阶确实不错，但是却有一个弱点，就是无处不在的和弦 C-E-G 的相对频率是：
1:(\frac{9}{8}\times\frac{9}{8})\times(\frac{9}{8}\times\frac{9}{8}\times\frac{256}{243}\times\frac{9}{8})=64:81:96\\就如你看见的，这个比不是一般的大。就算没听过，你也能感受到它的不和谐。
几个世纪以来，替代调音得到了发展。例如，在纯率中，使用的是以下比率：
C\times \frac{9}{8}\Rightarrow D\times \frac{10}{9}\Rightarrow E\times \frac{16}{15}\Rightarrow F\times \frac{9}{8}\Rightarrow G\times \frac{10}{9}\Rightarrow A\times \frac{9}{8}\Rightarrow B\times \frac{16}{15}\Rightarrow C\\
通过这种调音， C-E-G 的相对频率是：
1:(\frac{9}{8}\times\frac{10}{9}):(\frac{9}{8}\times\frac{10}{9}\times\frac{16}{15}\times\frac{9}{8})=3:4:5\\看起来不错！但是纯率唯一的缺陷就是从C到D听起来与从D到E听起来不一样。
这些其实还算小问题。这两个系统有另一个特别严重的问题。就是调音十分不方便。解决的办法就是创建一个能在所有音调里面正常工作的系统。而这个系统就是平均律。它的一个八度音程包含12个半音阶：
C\Rightarrow C^\#\Rightarrow D\Rightarrow D^\#\Rightarrow E\Rightarrow F\Rightarrow F^\#\Rightarrow G\Rightarrow G^\#\Rightarrow A\Rightarrow A^\#\Rightarrow B\Rightarrow C\\我们知道，经过一个八度使频率加倍，且平均律中每两个音之间的频率都一样，这就使得两个音之间的频率 r 可以这样求：
r^{12}=2\\ r=\sqrt[12]{2}\\虽然是无理数，但是确实很好地解决了那些问题。所以到现在，大家都一直在使用平均律。
<hr/>后记

首先向大家道歉，因为我对各位的新年祝福来迟了。但是还请大家接受这个祝福。这个新年祝福是由我和爱吃瓜子的克鲁克山（CSDN账号：爱吃瓜子的克鲁克山的博客_CSDN博客-tools,C++小程序,比赛日志领域博主）一起完成。爱吃瓜子的克鲁克山不仅是我的朋友，还是一个十分有才华的C++博主。建议大家可以看看他的博客，里面有很多好玩的程序。他现在在致力开发自己的小程序tools（他自己戏称它为吐司），现在更新到了tools1.0.6。
我的新年祝福放在了百度网盘里，链接与提取码如下：
链接：https://pan.baidu.com/s/11FmtixYKFQAnjmKCzseq_A
提取码：mh24
同时，附上C++源码：
到圣诞节了，不得不庆祝一下，用C++ Beep函数做了一个小程序
最后再次祝大家新年快乐！
<hr/>参考文献

[美]爱德华 · 沙伊纳曼 - 《美丽的数学》
A为什么等于440Hz？_音高

斤斤有胃

前排顶，很好！