基本初等函数图像及其性质

杨振忠

1、幂函数

形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
（1）图像
几个常见的幂函数图像：


注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
（2）性质：

• 幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点
  
• 所有幕函数在（0，+00）上都有定义，并且图像都经过点（1，1）。
  
• 当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数　　
  
• 当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数
  
• 当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)
  
• 当a=1时，函数图像为过（0,0），（1,1）且关于原点对称的射线
  
• 当0<a<1时，函数是增函数
  
• 当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数
  
• 当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数
  

（3）规律：
把a看成分数

• 当分母为偶数时，函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限
  
• 当分母为奇数时，分子为偶数，函数为偶函数，图像在一、二象限，图像关于Y轴对称
  
• 当分母为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，图像在一、三象限，图像关于原点对称
  

2、指数函数

函数y=a^x（a>0且a≠1）叫做指数函数，自变量x叫做指数，a叫做底数 函数的定义域是R.
（1）图像


（2）性质

• 指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的函数值恒大于零，定义域为R，值域为（0，+00）
  
• 指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像经过点（0，1）
  
• 指数函数y=a^x（a>1）在R上递增，指数函数y=a^x（0 <a< 1）在R上递减
  
• 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
  
• 函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))
  
• 指数函数无界
  
• 指数函数是非奇非偶函数
  
• 指数函数具有反函数，其反函数是对数函数
  

3、对数函数

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
（1）图像


（2）性质

• 定义域：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}；
  
• 定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
  
• 单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数；  0<a<1时，在 定义域上为单调减函数；
  
• 零点：x=1
  

一般地

• 对数函数y=logax（a>0且a≠1）就是指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的反函数。
  
• 因为指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的值域是（0，+00）
  
• 所以对数函数y=logax（a>0且a≠1）的定义域是（0，+00）。
  

（3）对数运算性质：
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么：


（4）补充

• （1）对数：一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幕等于N，即a^b=N，那么b叫做以a为底N的对数；记作：logaN =b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
  
• （2）常用对数：lg(b)=log 10b（10为底数）；
  
• （3）  自然对数：ln(b)=log eb（e为底数）  e为 无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828。
  

4、三角函数

三角函数：y=sinx，y=cos x，y=tan x，y=cotx；
（1）图像、性质
正弦与余函数的图像与性质


正切与余切函数的图像与性质


（3）补充
特殊度数


倍角公式


5、反三角函数

反三角函数：y=arcsin x，y = arccos x，y= arctan x，y = arccotx
（1）图像
反正弦与反余函数的图像与性质


反正切与反余切函数的图像与性质



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卤三国初色卤肉

拿走了  谢谢[笔芯]

马浩宁

第一张图片的指数看不太清楚[大笑]

赫六寒拔凌

三扣

痴情废物

非常感谢[赞同]

一刻爱跳的心

正切余切函数x轴正半轴多负号了

卧槽的肥兔子

余切不过原点为什么是奇函数，定义域不应该是x不等于kπ吗？，π+kπ就取不到原点了啊

油油娇娇淑芬

没正割、余割函数[撇嘴]

寒云宛秋

第一张图太模糊了

小杜牧羊

这个[调皮]，，主要是帮助大家回忆回忆，复习复习，思考思考，一点就通了