期望、方差的性质

静观风尘

期望定义

离散型：
设随机变量X，概率为  P( X=x_i  )= p_i , i\in Z
则： E(X)=\sum_{i}^{n}{x_i}p_i    也称为随机变量X的均值，记做 \bar{X}   
连续型：
设随机变量X， 概率密度为 f(x)  若积分 \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx   绝对收敛
则： E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx    也称为随机变量X的均值，记做 \bar{X}  
期望的性质：

1、E(C)=C  ， C是常数。
2、 E(aX)=aE(X) ,  a是常数，另 E(EX)=EX,E(EX^2)=EX^2
3、 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
E(\sum_{i}^{n}{a_i}X)=\sum_{i}^{n}{a_i}E(X)
4、若X，Y相互独立， 则 E(XY)=E(X)E(Y)

求和公式的性质

1、   S = \sum_{i=1}^{n}a =na ,   a\in Z
2、    S=\sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}(n+1-i)=\frac{n(n+1)}{2}
证明:  设：  2S = \sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}(n+1-i)=n(n+1)     , 所以: S=\frac{n(n+1)}{2}
3、  \sum_{i=a}^{b}[f(j)-f(j-1)]=f(b)-f(a-1)

方差的定义

设X为随机变量，若 E(X-EX)^2  存在， 则称为随机变量X的方差，记作DX 或Var(X)
即:
DX=Var(X)=E[(X-EX)^2]
标准差定义  \sqrt{DX}=E(E-EX)
离散型：
DX=E[(X-EX)^2]=\sum_{i}(x_i-EX)^2p_i=\sum_{i}(x_i^2-2x_iEX+EX^2)p_i
连续型：
DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx

方差的性质

1  DX\geq0    若 C 是常数 DC=0
2 D(CX)=C^2D(X)
3 D(aX+bY) = a^2D(X)+b^2D(Y)+2abE(X-EX)(Y-EY)
若 X,Y相互独立，则 D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY
4 D( X+b) = D(X)  其中b是常数
5 D(aX+b) = a^2D(X)
6 D(X) = E(X^2)-E^2(X)
7 D(\sum_{j=1}^{t}{u_j}) =  \sum_{j=1}^{t}{D(u_j)} , u_t 纯随机，服从正态分布的随机变量。从【现代时间序列分析】书里看到

第6项推导：
D(X) = E[ ( X -E(X))^2] =                                                  （1）
E[ X^2-2XE(X)+E(X)^2]=                             （2）
E(X^2)-2E(XE(X))+E(X)^2= E(X^2)-2\mu E(X) + E(X)^2 =                        （3）
E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2
上述式中 \mu 是E(X), 这里引入为了更容易理解。
注： E[ 2XE(X) ] = 2E(X)E(X) =  2E(X)^2    常数的平方还是常数

乐高可可

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