常数1的傅里叶变换

除了沉默

可直接利用傅里叶变换的对偶性来证明：
1\leftrightarrow2\pi\delta(w)

我们知道：单位脉冲函数的傅里叶变换是1，即：
\delta(t)\leftrightarrow1
对频域下的1求傅里叶逆变换则可以得到原单位脉冲函数，即：
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{jwt}dw=\delta(t)
用-t代替t，可得：
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=\delta(-t)
左右两边同时乘以 2\pi ，可得：
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=2\pi\delta(-t)
因为单位脉冲函数是偶函数，因此有 \delta(-t)=\delta(t) ，进一步得到：
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=2\pi\delta(t)
将 t 换成 w ， w 换成 t ，可得到
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dt=2\pi\delta(w)
证明完毕。

食尚

如果上下限不是无穷呢

战一

书上说傅里叶变换存在的条件是绝对可积，可是1好像不满足这个条件为什么也可以傅里叶变换呢[好奇]

余生不扰

绝对可积仅仅是可以傅立叶变换的充分条件，不绝对可积时有可能也可以傅立叶变换，在常数函数中也是，虽然不绝对可积，但也有傅立叶变换

天使情人

如果函数不是绝对可积的情况，我们可以应用广义傅立叶变换，将函数定义为一个合适序列的极限（其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数）我们对此序列进行傅立叶变换，然后对其结果进行取极限，这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果

房车老杨

如果函数不是绝对可积的情况，我们可以应用广义傅立叶变换，将函数定义为一个合适序列的极限（其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数）我们对此序列进行傅立叶变换，然后对其结果进行取极限，这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果

黑夜炫速

如果函数不是绝对可积的情况，我们可以应用广义傅立叶变换，将函数定义为一个合适序列的极限（其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数）我们对此序列进行傅立叶变换，然后对其结果进行取极限，这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果

她回眸一笑

现在懂了，绝对可积是充分条件

中国之心

[思考]

水城人

傅里叶变换本来不就是无穷吗？