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常数1的傅里叶变换

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发表于 2023-1-8 15:54:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
可直接利用傅里叶变换的对偶性来证明:
1\leftrightarrow2\pi\delta(w)

我们知道:单位脉冲函数的傅里叶变换是1,即:
\delta(t)\leftrightarrow1
对频域下的1求傅里叶逆变换则可以得到原单位脉冲函数,即:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{jwt}dw=\delta(t)
用-t代替t,可得:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=\delta(-t)
左右两边同时乘以 2\pi ,可得:
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=2\pi\delta(-t)
因为单位脉冲函数是偶函数,因此有 \delta(-t)=\delta(t) ,进一步得到:
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dw=2\pi\delta(t)
将 t 换成 w , w 换成 t ,可得到
\int_{-\infty}^{+\infty}1*e^{-jwt}dt=2\pi\delta(w)
证明完毕。
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发表于 2023-1-8 15:55:54 | 显示全部楼层
如果上下限不是无穷呢
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发表于 2023-1-8 15:56:51 | 显示全部楼层
书上说傅里叶变换存在的条件是绝对可积,可是1好像不满足这个条件为什么也可以傅里叶变换呢[好奇]
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发表于 2023-1-8 15:57:06 | 显示全部楼层
绝对可积仅仅是可以傅立叶变换的充分条件,不绝对可积时有可能也可以傅立叶变换,在常数函数中也是,虽然不绝对可积,但也有傅立叶变换
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发表于 2023-1-8 15:58:02 | 显示全部楼层
如果函数不是绝对可积的情况,我们可以应用广义傅立叶变换,将函数定义为一个合适序列的极限(其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数)我们对此序列进行傅立叶变换,然后对其结果进行取极限,这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果
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发表于 2023-1-8 15:58:45 | 显示全部楼层
如果函数不是绝对可积的情况,我们可以应用广义傅立叶变换,将函数定义为一个合适序列的极限(其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数)我们对此序列进行傅立叶变换,然后对其结果进行取极限,这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果
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发表于 2023-1-8 15:59:39 | 显示全部楼层
如果函数不是绝对可积的情况,我们可以应用广义傅立叶变换,将函数定义为一个合适序列的极限(其极限等于我们需要傅立叶变换的原函数)我们对此序列进行傅立叶变换,然后对其结果进行取极限,这个极限就是我们原函数的傅立叶变换结果
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发表于 2023-1-8 15:59:46 | 显示全部楼层
现在懂了,绝对可积是充分条件
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发表于 2023-1-8 16:00:17 | 显示全部楼层
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发表于 2023-1-8 16:01:01 | 显示全部楼层
傅里叶变换本来不就是无穷吗?
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